Активное обучение математике

Перевод статьи "What Does Active Learning Mean For Mathematicians?", опубликованной в журнале AMS Notices (февраль 2017 г.).

В августе 2016 г. 15 президентов обществ Совета конференций по математическим наукам (CBMS), зонтичной организации, состоящей из Американского математического общества и 16 других профессиональных обществ по математическим наукам, выпустили формулировку активного обучения [1] со следующим призывом к действию:
"Мы призываем институты высшего образования, факультеты математики и преподавателей, политиков и финансирующие учреждения вкладывать время и ресурсы, чтобы обеспечить эффективное включение активного обучения в вузовские занятия по математике."
Это обращение является частью широкого движения за рост использования активных и личностно-ориентированных (student-centered) методик преподавания в научных, технологических, инженерных и математических (STEM) дисциплинах. Важный мета-анализ 2014 г., опубликованный в Трудах Национальной академии наук [2] подчёркивал эффективность методов активного обучения в дисциплинах STEM. Специфически для математики подробное исследование результатов студентов при исследовательском обучении (inquiry-based learning) [3] в дальнейшем установило, что методы активного обучения имеют сильный положительный эффект при обучении женщин и других недостаточно представленных групп в математике. Это движение выходит за рамки академического сообщества -- например, на федеральном уровне инициатива Белого дома "STEM для всех" [4] включает активное обучение как одно из трёх направлений деятельности для бюджета 2017 г.

В то время как активная поддержка со стороны исследователей по вопросам образования, финансирующих учреждений, политиков и институтов является важной составляющей эффективного внедрения активного обучения, в конечном итоге эти методики реализуются ведущими группами студентов математических факультетов. Поэтому преподаватели математики должны быть хорошо информированы об активном обучении и смежных вопросах. Цель этой статьи -- дать основу для продуктивных дискуссий об использовании активного обучения математике в вузах. Мы обратим внимание на темы, которые часто затрагиваются на уровне факультетов (кафедр): определения активного обучения, примеры методик активного обучения и условий, используемых отдельными преподавателями или группами преподавателей, то, чего следует ожидать при использовании методов активного обучения и общие проблемы. Подробное рассмотрение этих вопросов и обширную библиографию можно найти в серии по активному обучению из 6 статей [5], написанной авторами для блога AMS "On Teaching and Learning Mathematics".

Что такое активное обучение?

Часто задаваемый вопрос -- что такое активное обучение? Мы исходим из определения CBMS [1]: "Активное обучение означает аудиторные занятия, которые вовлекают студентов в деятельность такую, как чтение, письменные работы, обсуждение или решение задач, что способствует развитию навыков высокого мышления". Использование такого широкого определения повышает риск, что преподаватели, администраторы и прочие заинтересованные лица будут разговаривать на разных языках настолько, насколько остаётся простор для фантазии, что в действительности происходит в такими методами. Однако это также допускает, что активное обучение затрагивает широкое множество отдельных видов деятельности в различных условиях при разном образовании и опыте преподавателей и для разных групп студентов.

Другой подход в определении активного обучения более пригоден в местных условиях, таких как внутренние дискуссии кафедр или обсуждения между руководителями кафедр и администраторами. В этом подходе дискуссия сосредотачивается на конкретном курсе и определяет активное обучение как задачу, которую студенты будут выполнять во время занятий. Это позволяет гарантировать, что у всех участников дискуссии будет одинаковое видение того, какие методы фактически предлагаются или обсуждаются в контексте определённых целей курса и результатов обучения студентов.

Примеры методик и условий активного обучения

В современных вузовских курсах лекция остаётся преобладающей методикой обучения, используемой преподавателями математики. При том, что активное обучение и лекция иногда рассматриваются как два диаметрально противоположных варианта, это недоразумение, как показывают дальнейшие примеры. Мы начнём с примеров, которые главным образом касаются отдельных преподавателей, и в конце рассмотрим примеры, которые требуют коллективных закупок и поддержки со стороны факультетов, кафедр и учреждений.

Подход "Я - Ты - Мы" ("think-pair-share")

Один из простейших примеров методики активного обучения, пригодной для использования на лекциях, -- это "Я - Ты - Мы". При таком подходе преподаватель даёт студентам небольшую задачу, например: выполнить вычисления, провести шаг доказательства, привести один или несколько примеров или сформулировать гипотезу или предположение. После того как каждый студент самостоятельно проанализирует задачу в течение 2-3 минут ("think"), студентам даётся 2 минуты, чтобы сравнить ответы с соседями ("pair"). Наконец, некоторых студентов просят рассказать свои ответы тем или иным способом либо соседним группам, либо всей аудитории ("share"). Полулекция, когда студентам дают время подумать и обсудить математику, поддерживает их активное участие в занятии. Описанная методика не предполагает участие департаментов или учреждений и служит для эффективной проверки понимания, когда студенты могут перенаправлять внимание в течение лекции.

Системы ответов аудитории ("пульты")

В дополнение к подходу "Я - Ты - Мы" существует много сходных примеров систем и методик "голосования аудитории", которые могут быть использованы, чтобы повысить эффективность активность студентов. Эти системы часто полезны при расширении методики "Я - Ты - Мы" и сходных методов для больших лекций. В то время как некоторые системы используют Web и мобильные телефоны, другие системы требуют от студентов проката или покупки устройств для ответов. Поэтому в зависимости от выбора системы может потребоваться привлечение факультетов, когда пультовые системы широко используются, и часто полезно осуществить использование пультов в команде преподавателей, а не индивидуально.

Перевёрнутый класс

В условиях перевёрнутого класса презентации преподавателя об основных определениях, примерах, доказательствах и эвристиках даются студентам в виде видео или самостоятельного чтения и изучаются перед занятием. В результате аудиторное время становится доступным для задач активного обучения, которые сразу вовлекают студентов в процесс. Задания, которые преподаватели используют в течение этого времени, варьируются от подхода "Я - Ты - Мы" со сложными задачами или примерами до работы студентов в малых группах над упорядоченным перечнем заданий при наличии периодической обратной связи с преподавателем или ассистентом преподавателя. Перевёрнутая модель обучения использовалась в качестве структуры для целых курсов, как периодические мероприятия для проработки тем, которые менее подходят для лекционных презентаций, как основа для обзорных занятий или занятий по решению задач и пр. В зависимости от метода, используемого при "переворачивании" отдельных промежутков занятий или целых курсов, поддержка факультетов и/или учреждений (в форме технической помощи) может являться важной составляющей в этой модели.

Исследовательское обучение (inquiry-based learning)

Один из наиболее известных методов активного обучения математике -- это исследовательское обучение (ИО). В курсах ИО аудиторное время используется для работы над набором задач индивидуально или в группах, решения и/или доказательства представляются аудитории, и происходит обратная связь с сокурсниками и преподавателем. Курсы ИО основаны не на самостоятельной, не руководимой исследовательской работе студентов; наоборот, преподаватели разрабатывают ряд тщательно выстроенной (т.е. упорядоченной в виде структуры) деятельности -- какой-то для каждого в отдельности, какой-то в парах, какой-то в малых группах и какой-то для целой аудитории, включая мини-лекции, когда необходимо. Поскольку преподавателям, использующим ИО, необходимо развивать возможности использования ряда стратегий обучения и осваивать многие "учительские ходы", эти методы, как правило, не применяются на лекциях, ИО -- более продвинутая среда активного обучения. Есть много возможностей для профессионального совершенствования с ИО, включая семинары, предлагаемые Академией исследовательского обучения, www.inquirybasedlearning.org.

Математический центр (math emporium)

Модель математического центра использует большое помещение с компьютерами, за которыми студенты занимаются по онлайн-курсам, позволяющим самостоятельно выбирать скорость изучения материала. В отличие от перевёрнутого класса многие модели математического центра не содержат лекционной части, и большинство из них разработаны для работы над ошибками и для начальных курсах таких, как подготовительная математика (developmental mathematics) и алгебра в колледже. В математическом центре обычно есть столы, где студенты могут работать совместно, и обучение сопровождается большим числом ассистентов и тьюторов. Так как студенты сами выбирают скорость изучения материала, они тратят большую часть времени, активно работая с содержанием курса, используя набор задач. Ввиду значительного вложения средств в аудиторное пространство и необходимые технологические ресурсы, математический центр обычно запускается как совместное предприятие между преподавателями, факультетами и администраторами.

Моделирование и компьютерные лаборатории

Моделирование - это широкое поле деятельности для повышения активности студентов, и это часто дополняется компьютерными лабораториями. С 90-х гг. многие математические курсы включают занятия в компьютерной лаборатории для изучения с использованием программ таких, как Mathematica, Maple, MATLAB и Sage. В последние годы наблюдается рост числа сетей в помощь преподавателям, использующим лаборатории и моделирование, например, проект SIMIODE.org для дифференциальных уравнений. В отчёте Общества индустриальной и прикладной математики (SIAM) 2016 г. "Рекомендации по оценке и преподаванию в области математического моделирования" приводятся примеры деятельности по моделированию на протяжении курса обучения с активным участием студентов, также в этом документе обсуждаются связанные темы такие, как оценивание. Включение компонентов по моделированию и работе в лаборатории в вузовские курсы можно осуществить на многих уровнях, от отдельных мероприятий для одной аудитории до реализации обширных проектов, поддержанных на уровне учреждений.

Чего ожидать от активного обучения?

Активное обучение часто оказывает существенное положительное воздействие на упорство студентов и их уверенность.

Преподавателям, которые начинают использовать активное обучение, нужно иметь реалистичные ожидания от этих методик. Поскольку существует много различных методик активного обучения и разные методики по-разному воздействуют на студентов, не всегда возможно точно сказать, что будет, если использовать новый метод активного обучения. Однако есть вещи, которые преподаватели, как правило, могут ожидать. Ниже перечислены 5 из них.

Ожидайте, что сможете отслеживать прогресс студентов

Для многих преподавателей, использующих активное обучение, эти методики способствуют более плодотворным дискуссиям со студентами и предоставляют окно в реальность математических способностей студентов. Это даёт возможность преподавателям реагировать в случае непонимания материала студентами, что, в свою очередь, позволяет студентам чувствовать себя более обеспеченными помощью, что часто приводит к повышению активности. Даже на лекциях для 200 студентов, где диалог между студентами и преподавателем можно сильно поддерживать при помощи пультовых систем, преподаватели часто сообщают, что методы активного обучения позволяют лучше выяснить, что понимают студенты, чем на традиционных лекциях.

Ожидайте, что студенты вас удивят

Активное обучение даёт возможности для взаимодействия между преподавателем и студентами, которых нет в курсах, сосредоточенных на непосредственном преподавании. Методы активного обучения могут задействовать и побудить студентов, которые обычно не высказываются или неактивны на занятии -- студенты, которые молчат и по натуре сдержанны, часто полностью проявляют свой потенциал, когда им даётся такая возможность. С другой стороны, методы активного обучения могут раскрыть глубоко неправильные представления о математике, даже у круглых отличников, что домашняя работа и экзамены -- это не показатель. Более того, студенты часто отвечают на задачи активного обучения интересными наблюдениями и наводящими на размышления вопросами, что наполняет стандартные курсы, такие как матанализ, свежей энергией.

Ожидайте сопротивляемость от некоторых студентов

По многим причинам часто некоторые студенты противятся методам активного обучения, особенно в начале курса. Некоторые студенты не слишком заинтересованы в математике и не хотят заниматься на более глубоком уровне. Другие студенты испытали значительный успех в традиционных математических курсах и опасаются незнакомой среды. Со всеми студентами преподавателям нужно понятно изложить важность методов активного обучения, которые они используют, и возлагать большие надежды на участие и активную работу студентов. Часто студенты, которые вначале сопротивлялись, в конце курса сами удивляются, насколько ценно активное обучение.

Ожидайте учиться на своих ошибках

Во многом так же, как и при изучении математики, когда вы будете изучать, как эффективно использовать новую педагогическую методику, особенно одну из более сложных методик активного обучения, это будет связано с настойчивостью и исправлением ошибок в результате небольших неудач. Преподавателям математики нужно быть готовыми к тому, чтобы начинать с малого и постепенно и постоянно совершенствоваться. Почти каждый преподаватель, с которым разговаривали авторы и который использует активное обучение, описывает совершенствование своей преподавательской работы как последовательность как успехов, так и неудач. Если вы реализуете новую для вас методику активного обучения, часто бывает полезным сначала обсудить с руководством кафедры, как преподавание этого курса будет оцениваться при обзоре служебных заслуг. Многие вузы поддерживают преподавателей, которые накапливают опыт с новыми методиками преподавания, особенно если эти методики научно обоснованы.

Ожидайте долгосрочный эффект

При использовании в комбинации с основой из хороших общих практик преподавания активное обучение часто оказывает существенное положительное воздействие на упорство студентов и их уверенность в математике. Это, в свою очередь, может больше заинтересовать студентов в учёбе и охватить больше математики в перспективе. Так как многие методики активного обучения придают особое значение коммуникациям и совместной работе, преподаватели часто сообщают, что использование этих методик ускоряет построение сильных студенческих сообществ. Эти пиринговые сети продолжают действовать и в последующих курсах, обогащая опыт студентов на протяжении изучения математики. Многие из этих эффектов активного обучения становятся полностью заметными только после окончания курса, и поэтому их может быть сложно измерить или даже обнаружить при помощи стандартных инструментов оценки курсов.

Общие проблемы, связанные с активным обучением

Математики, которые осуществляют активное обучение, сообщают, что они лучше понимают прогресс студентов.

Историческое преобладание формата лекции основывается на убеждении, что обучение происходит в результате передачи информации от преподавателя студенту и что студенты учатся в процессе усвоения битов информации, которые преподаватели говорят или пишут. Более того, из-за нашей страсти и любви к математике естественное человеческое побуждение со стороны преподавателей математики -- рассказать студентам о путях, которыми мы пришли к пониманию нашей дисциплины, пролить свет на тонкости, которые окружают большинство математических идей, и объяснить основные знания в нашей области. Наш совместный опыт, опирающийся на исследования, показывает, что обучение -- это не такой простой процесс. Например, почти каждый учитель рассказывал студентам некий математический факт -- такой, как (a + b)² не равно a² + b² -- только чтобы показать им на тесте, что они не изучили это. Такие случаи наводят на мысль, что недостаточно просто рассказать информацию студентам, если мы хотим осуществить глубокое и содержательное обучение. Поэтому ключ -- это найти эффективный баланс между непосредственным преподаванием и активным обучением, где преподаватели обеспечивают руководство посредством комбинации объяснений и задач активного обучения.

Что, если я не охвачу такое же количество материала?

Непосредственное преподавание само по себе может быть эффективным способом разобрать материал. Однако пример, когда студенты не знают, что (a + b)² не равно a² + b², не должен быть нам незнаком: чтение лекций с целью охватить больше материала не всегда эффективно для студентов. Принимая во внимание только охват содержания курса и реагируя на охват содержания при разговоре, мы рискуем забыть многие другие элементы обучения студентов, на которые направлено активное обучение, такие, как познавательные цели для студентов, изложенные в Руководстве по образовательным стандартам Комитета по вузовским программам по математике Американской математической ассоциации [6]:

• опознавать и проделывать математически строгие доказательства;
• выражать математические идеи ясно и последовательно как устно, так и письменно;
• работать творчески и самостоятельно;
• оценивать корректность решений;
• придумывать и изучать примеры;
• проводить математические эксперименты;
• придумывать и проверять предположения.

В дополнение к тому, что эти темы -- не единственный предмет, который необходимо затронуть, недавние исследования говорят о том, что покрытие материала менее важно для упорства студентов и их достижений в математике, чем использование методик преподавания, которые затрагивают перечисленные цели обучения.

Как мне узнать, что я хорошо выполняю свою работу как преподаватель?

Использование насыщенных лекций вносит вклад эффективность математиков в их дисциплинах. Однако существует ряд путей, как преподаватели могут достичь эффективности, чередуя традиционные лекции и активное обучение на своих занятиях. Сюда относятся такие виды деятельности, как проблемы выбора, предсказание рассуждений студентов, проведение и направление дискуссий, которые побуждают студентов к высококачественным объяснениям, ответы на вопросы, которые расширяют знания студентов и получение немедленной обратной связи от студентов относительно того, что они только что изучили. Применяя такие подходы, мы меняем способ оценки качества преподавания с качества наших презентаций в сторону качества задач, которые мы даём студентам. Далее, многие математики, применяющие активное обучение, сообщают, что они лучше понимают прогресс студентов и могут яснее наблюдать изменения, чем раньше.

Мне не нужно активное обучение, почему оно нужно моим студентам?

Многие математики сами не пробовали учебные среды, включающие активное обучение. Поэтому для многих математиков и аспирантов их первый опыт с методами активного обучения будет затрагивать как преподавателей, так и студентов. Однако мы должны быть осторожны при сравнении нашего собственного опыта с опытом студентов; Карл Ли [7] пишет: "Я часто рассматривал занятия по математике высокого уровня разве что как результат непосредственного преподавания ("лекции"). Как преподаватель, я быстро узнал, что я вовлекал мало студентов в этот процесс. Не все развивают свои "математические привычки ума" или "математические практики" в ходе моих лекций или домашней работы (над которой часто работают индивидуально). Сейчас я выше оцениваю важную роль персональной ситуации и неформального образования при развитии способностей студентов."

Исследования [2], [3] говорят о том, что активное обучение оказывает сильное положительное воздействие на широкий круг студентов, а не только на тех, кто готов на своих курсах самостоятельно заниматься математикой на высоком уровне. Это исследование также говорит о том, что активное обучение не приносит вреда и может в дальнейшем дать успех тем студентам, кто уже достиг высокого уровня. Авторы согласны с тем, что мы скорее строим прочный математический фундамент, с которым мы работали, чем используем больше сред активного обучения и что активное обучение подсказало бы раньше понимание математики, как на дисциплинах, основанных на исследовательском обучении.

Заключение

Новые методики преподавания не могут быть сразу эффективно реализованы. Мы должны начинать с малого и развиваться постепенно и согласованно, в идеале реализуя изменения как часть команды, которая может дать обратную связь и помощь. Для опытных преподавателей это то, что нужно сделать не только для себя, но также для будущих поколений математиков.

Те из нас, кто работает в учреждениях, которые готовят магистров и докторов наук, должны давать аспирантам опыт использования методов активного обучения или как перечисленные обязанности, или в ситуациях, где аспиранты выступают в качестве независимых преподавателей. Имея большие требования к аспирантуре, неразумно, что каждый аспирант в математике окажется экспертом в преподавании, но мы должны дать как можно больше возможностей аспирантам развить навыки использования комбинации непосредственного преподавания и методов активного обучения. Для начинающих преподавателей существуют программы профессионального развития такие, как Project NExT.

Есть основной способ, который может помочь преподавателям математики: математики -- это эксперты в решении задач. Как сообщество математиков и преподавателей, мы находимся в процессе решения проблемы, как лучше учить математике, и мы работаем вместе над этим. Как и со сложными реальными задачами, в этой проблеме нет точного решения, но есть набор приближённых решений. Тем не менее, наше математическое образование подготовило нас как решателей задач, чтобы мы оттачивали интеллект, усердие, дух любознательности и любовь к учёбе для того, чтобы развить значимые и эффективные способы преподавания. Эти качества напрямую связаны с тем, кто мы есть как математики, и они дают надежду на успех в дальнейших попытках улучшить преподавание математики для всех.