Лемма Гронуолла применяется для обоснования стремления функции к 0 при положительной и интегрируемой на \((0, +\infty)\) правой части неравенства.
Лемма Гронуолла [Гаевский и др., с. 191]. Пусть \( f \colon [0,T] \to \mathbb R\) -- непрерывна, \( g \colon [0, T] \to \mathbb R \) -- неубывающая функция.
Если \[ f(t) \leq g(t) + c\int_0^t f(s)\, ds\quad \forall t \in [0,T],\] где \(c \geq 0\), то
\[
f(t) \leq e^{ct}g(t)\quad \forall t \in [0,T].
\]
В частности, если \(g = 0\) и \(f \geq 0\), то \(f = 0\).
В лемме Гронуолла в дифференциальной форме число \(c\) не обязано быть неотрицательным.
Приведем данную лемму в соответствии с блогом Adventures in Analysis.
Лемма. Пусть \(x \colon [0,T] \to \mathbb R\) -- интегрируема и дифференцируема на \([0,T]\). Предположим, что \(g, h \colon [0,T] \to \mathbb R\) интегрируемы и
\[
\frac{dx(t)}{dt} \leq g(t)x(t) + h(t) \quad \mbox{п.в. на }[0,T].
\]
Тогда
\[
x(t) \leq x(0)e^{G(t)} + \int_0^t e^{G(t) - G(s)}h(s)\,ds \quad \mbox{п.в. на }[0,T],
\]
где \(G(t) = \int_0^t g(r)\,dr\).
При \(g(t) \equiv -k\) лемма принимает более простой вид.
Предполагая, что
\[
\frac{dx(t)}{dt} + kx(t) \leq h(t) \quad \mbox{п.в. на }[0,T],
\]
получаем
\[
x(t) \leq x(0)e^{-kt} + e^{-kt}\int_0^t h(s)e^{ks}\,ds \quad \mbox{п.в. на }[0,T].
\]
\frac{dx(t)}{dt} + kx(t) \leq h(t).
\]
x(t) \leq x(0)e^{-kt} + e^{-kt}\int_0^t h(s)e^{ks}\,ds \quad \mbox{п.в. на }[0,T].
\]
Лемма Гронуолла [Гаевский и др., с. 191]. Пусть \( f \colon [0,T] \to \mathbb R\) -- непрерывна, \( g \colon [0, T] \to \mathbb R \) -- неубывающая функция.
Если \[ f(t) \leq g(t) + c\int_0^t f(s)\, ds\quad \forall t \in [0,T],\] где \(c \geq 0\), то
\[
f(t) \leq e^{ct}g(t)\quad \forall t \in [0,T].
\]
В частности, если \(g = 0\) и \(f \geq 0\), то \(f = 0\).
В лемме Гронуолла в дифференциальной форме число \(c\) не обязано быть неотрицательным.
Приведем данную лемму в соответствии с блогом Adventures in Analysis.
Лемма. Пусть \(x \colon [0,T] \to \mathbb R\) -- интегрируема и дифференцируема на \([0,T]\). Предположим, что \(g, h \colon [0,T] \to \mathbb R\) интегрируемы и
\[
\frac{dx(t)}{dt} \leq g(t)x(t) + h(t) \quad \mbox{п.в. на }[0,T].
\]
Тогда
\[
x(t) \leq x(0)e^{G(t)} + \int_0^t e^{G(t) - G(s)}h(s)\,ds \quad \mbox{п.в. на }[0,T],
\]
где \(G(t) = \int_0^t g(r)\,dr\).
При \(g(t) \equiv -k\) лемма принимает более простой вид.
Предполагая, что
\[
\frac{dx(t)}{dt} + kx(t) \leq h(t) \quad \mbox{п.в. на }[0,T],
\]
получаем
\[
x(t) \leq x(0)e^{-kt} + e^{-kt}\int_0^t h(s)e^{ks}\,ds \quad \mbox{п.в. на }[0,T].
\]
Теорема. Пусть \(h(t) \geq 0,\;\; \int_0^{+\infty} h(s)\,ds < \infty, \;\; k > 0\),
\[\frac{dx(t)}{dt} + kx(t) \leq h(t).
\]
Тогда \(\lim\limits_{t \to +\infty}x(t) = 0\).
Доказательство.
По лемме Гронуолла в дифференциальной форме,
\[x(t) \leq x(0)e^{-kt} + e^{-kt}\int_0^t h(s)e^{ks}\,ds \quad \mbox{п.в. на }[0,T].
\]
Обозначим \(H(t) = \int_0^t h(s)\,ds\).
Воспользуемся формулой интегрирования по частям и свойством возрастания функции \(H(t)\):
\[
\int_0^t h(t) e^{ks}\,ds = e^{ks}H(s)|_0^t - k\int_0^t H(s)e^{ks}\,ds \leq
\]
\int_0^t h(t) e^{ks}\,ds = e^{ks}H(s)|_0^t - k\int_0^t H(s)e^{ks}\,ds \leq
\]
\[
\leq e^{kt}H(t) - kH(t/2)\int_{t/2}^t e^{ks}\,ds = e^{kt}H(t) - H(t/2)(e^{kt} - e^{kt/2}) =
\]
\leq e^{kt}H(t) - kH(t/2)\int_{t/2}^t e^{ks}\,ds = e^{kt}H(t) - H(t/2)(e^{kt} - e^{kt/2}) =
\]
\[
= e^{kt}(H(t) - H(t/2)) + H(t/2)e^{kt/2}.
\]
Следовательно,
\[
x(t) \leq x(0)e^{-kt} + (H(t) - H(t/2)) + H(t/2)e^{-kt/2}.
\]
Поскольку при \(t \to +\infty\): \(H(t) \to C = \int_0^{+\infty} h(s)\,ds\), то \(x(t) \to 0\), ч.т.д.
= e^{kt}(H(t) - H(t/2)) + H(t/2)e^{kt/2}.
\]
Следовательно,
\[
x(t) \leq x(0)e^{-kt} + (H(t) - H(t/2)) + H(t/2)e^{-kt/2}.
\]
Поскольку при \(t \to +\infty\): \(H(t) \to C = \int_0^{+\infty} h(s)\,ds\), то \(x(t) \to 0\), ч.т.д.
Комментарии
Отправить комментарий