Лемма Гронуолла

Лемма Гронуолла применяется для обоснования стремления функции к 0 при положительной и интегрируемой на $(0, +\infty)$ правой части неравенства.


Лемма Гронуолла [Гаевский и др., с. 191]. Пусть $f \colon [0,T] \to \mathbb R$ -- непрерывна, $g \colon [0, T] \to \mathbb R$ -- неубывающая функция.
Если $$f(t) \leq g(t) + c\int_0^t f(s)\, ds\quad \forall t \in [0,T],$$ где $c \geq 0$, то
$$f(t) \leq e^{ct}g(t)\quad \forall t \in [0,T].$$
В частности, если $g = 0$ и $f \geq 0$, то $f = 0$.

В лемме Гронуолла в дифференциальной форме число $c$ не обязано быть неотрицательным.
Приведем данную лемму в соответствии с блогом Adventures in Analysis.
Лемма. Пусть $x \colon [0,T] \to \mathbb R$ -- интегрируема и дифференцируема на $[0,T]$. Предположим, что $g, h \colon [0,T] \to \mathbb R$ интегрируемы и
$$\frac{dx(t)}{dt} \leq g(t)x(t) + h(t) \quad \mbox{п.в. на }[0,T].$$
Тогда
$$x(t) \leq x(0)e^{G(t)} + \int_0^t e^{G(t) - G(s)}h(s)\,ds \quad \mbox{п.в. на }[0,T],$$
где $G(t) = \int_0^t g(r)\,dr$.

При $g(t) \equiv -k$ лемма принимает более простой вид.
Предполагая, что
$$\frac{dx(t)}{dt} + kx(t) \leq  h(t) \quad \mbox{п.в. на }[0,T],$$
получаем
$$x(t) \leq x(0)e^{-kt} + e^{-kt}\int_0^t h(s)e^{ks}\,ds \quad \mbox{п.в. на }[0,T].$$

Теорема. Пусть $h(t) \geq 0,\;\; \int_0^{+\infty} h(s)\,ds < \infty, \;\; k > 0$,

$$\frac{dx(t)}{dt} + kx(t) \leq  h(t).$$

Тогда $\lim\limits_{t \to +\infty}x(t) = 0$.

Доказательство.

По лемме Гронуолла в дифференциальной форме,

$$x(t) \leq x(0)e^{-kt} + e^{-kt}\int_0^t h(s)e^{ks}\,ds \quad \mbox{п.в. на }[0,T].$$

Обозначим $H(t) = \int_0^t h(s)\,ds$.

Воспользуемся формулой интегрирования по частям и свойством возрастания функции $H(t)$:

$$\int_0^t h(t) e^{ks}\,ds = e^{ks}H(s)|_0^t - k\int_0^t H(s)e^{ks}\,ds \leq$$

$$\leq e^{kt}H(t) - kH(t/2)\int_{t/2}^t e^{ks}\,ds = e^{kt}H(t) - H(t/2)(e^{kt} - e^{kt/2}) =$$

$$= e^{kt}(H(t) - H(t/2)) + H(t/2)e^{kt/2}.$$

Следовательно,
$$x(t) \leq x(0)e^{-kt} + (H(t) - H(t/2)) + H(t/2)e^{-kt/2}.$$
Поскольку при $t \to +\infty$: $H(t) \to C = \int_0^{+\infty} h(s)\,ds$, то $x(t) \to 0$, ч.т.д.