Игра в кубики, или сумма гармонического ряда

Приведем чисто геометрическое доказательство бесконечности суммы \(\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{1}{n}\).
В учебнике [Ильин, Позняк] расходимость гармонического ряда доказывается с помощью критерия Коши.


Определим фигуру \(\Phi_0\) как подграфик "лесенки"
\[
f(x) = \begin{cases}
\frac{1}{n}, & x \in (n, n+1),\; n = 1, 2, \ldots, \\
n+1, & x \in (\frac{1}{n+1}, \frac{1}{n}),\; n = 1, 2, \ldots
\end{cases}
\]
Далее определим фигуру \(\Phi_n, n \in \mathbb N,\) со следующими свойствами:
\(
\Phi_n(n+2, \infty) = \Phi_{n-1}(n+1, \infty),
\)
\(
\Phi_n(n+1, \infty) - \Phi_{n-1}(n+1, \infty) = \Phi_{n-1}(0,1) - \Phi_n(0,1) = \Phi_n(n+1, n+2),
\)
\(
\Phi_n(1, n+1) = \Phi_{n-1}(1, n+1),
\)
\(
\Phi_n(\frac{1}{n}, 1) = \varnothing.
\)

Нетрудно показать, что
\[
|\Phi_n(0, \infty)| = |\Phi_{n-1}(0, \infty)|,
\]
где \(|\cdot|\) -- площадь фигуры.

В пределе при \(n \to \infty\) получим фигуру \(\Phi_\infty\), которая является подграфиком "лесенки"
\[
g(x) = \begin{cases}
1, & x \in (1, 2),\; n = 1, 2, \ldots, \\
\frac{1}{n}, & x \in (2n, 2n+2),\; n = 1, 2, \ldots
\end{cases}
\]

Заметим, что
\[
|\Phi_0(0, \infty)| = 2\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n}, \quad
|\Phi_\infty(0, \infty)| = 1 + 2\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n}.
\]
\[
|\Phi_\infty(0, \infty)| = |\Phi_0(0, \infty)| \;\Rightarrow\; \sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n} =
\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n} + \dfrac{1}{2} = \infty.
\]
(Оставим строгость Бурбаки в стороне.)