Игра в кубики, или сумма гармонического ряда

Приведем чисто геометрическое доказательство бесконечности суммы $\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{1}{n}$.
В учебнике [Ильин, Позняк] расходимость гармонического ряда доказывается с помощью критерия Коши.


Определим фигуру $\Phi_0$ как подграфик "лесенки"
$$f(x) = \begin{cases} \frac{1}{n}, & x \in (n, n+1),\; n = 1, 2, \ldots, \\ n+1, & x \in (\frac{1}{n+1}, \frac{1}{n}),\; n = 1, 2, \ldots \end{cases}$$
Далее определим фигуру $\Phi_n, n \in \mathbb N,$ со следующими свойствами:
$\Phi_n(n+2, \infty) = \Phi_{n-1}(n+1, \infty),$
$\Phi_n(n+1, \infty) - \Phi_{n-1}(n+1, \infty) = \Phi_{n-1}(0,1) - \Phi_n(0,1) = \Phi_n(n+1, n+2),$
$\Phi_n(1, n+1) = \Phi_{n-1}(1, n+1),$
$\Phi_n(\frac{1}{n}, 1) = \varnothing.$

Нетрудно показать, что
$$|\Phi_n(0, \infty)| = |\Phi_{n-1}(0, \infty)|,$$
где $|\cdot|$ -- площадь фигуры.

В пределе при $n \to \infty$ получим фигуру $\Phi_\infty$, которая является подграфиком "лесенки"
$$g(x) = \begin{cases} 1, & x \in (1, 2),\; n = 1, 2, \ldots, \\ \frac{1}{n}, & x \in (2n, 2n+2),\; n = 1, 2, \ldots \end{cases}$$

Заметим, что
$$|\Phi_0(0, \infty)| = 2\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n}, \quad |\Phi_\infty(0, \infty)| = 1 + 2\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n}.$$
$$|\Phi_\infty(0, \infty)| = |\Phi_0(0, \infty)| \;\Rightarrow\; \sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n} = \sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n} + \dfrac{1}{2} = \infty.$$
(Оставим строгость Бурбаки в стороне.)